微積分是人類思維的產物，告訴我們過去沒見過、現在見不到、將來也無法看見的東西。某些情況下，會告訴我們一些從未存在但可能存在的事物。
第一章 無窮的故事
▪️畢達哥拉斯，萬物皆數。
▪️算數-計數、線角的測量；幾何學-圓面積的極限與逼近
▪️芝諾：
– 空間、時間、運動、無窮的本質。
– 萬物，包括空間、時間、物質、能量…應視為連續的。
– 柏拉圖、亞理斯多德
第二章 駕馭無窮∞
▪️ 阿基米德：浮力原理、槓桿定理
– 把幾何學與力學結合，在水中/槓桿上如何達到靜力平衡。#靜力學
– 利用多邊形/無窮級數逼近，量化曲線的幾何特性。
第三章 探索運動定理
▪️伽利略（美） 1623
– 基於歐幾里德與阿基米德數學，從鐘擺的擺動看世界（振動）
– 物體在空中飛行或降落過程的運動軌跡（1）速度的增加與下落時間成正比 （2）線的長度比等於時間平方比
▪️科普勒（德）1609
– 基於畢達哥拉斯幾何學與哥白尼天文學，探討🪐行星如何圍繞太陽分佈
第四章 微積分黎明
🔸古希臘：阿基米德、歐幾里德、托勒密、亞理斯多德、柏拉圖。
🔸羅馬：幾何學、代數
🔸解析幾何/微分學
▪️費馬/笛卡兒（法）1630
– 將代數與幾何聯繫，從一個方程開始，看能描繪成什麼曲線（XY 平面）
– 含有X和Y的二次項但不含…，只對應：拋物線、橢圓、雙曲線、圓…
– 切線：「求導法」或是「在切點附近，一個標準圓，要麼與曲線有兩個交點，要麼沒有交點」
第五章 微積分十字路口
▪️曲線幾何學：計算曲線下的面積，將時間數學化，曲線切線和斜率
– y = f(x), y隨著x變化的函數, 如 x^2, logx, 10^x, 成長、衰退、波動…
– 如：病毒式傳播、pH值、地震級數、分貝、放射線同位數、複利、核分裂…
– e^x 變化率是e^x, 即為本身的自身導數，e為底的指數函數的增長率恰等於函數本身
第六章 變化率和導數
▪️求斜率、曲線、面積
– 速度、距離的動態變化，變化率函數 🔺x, 🔺y/ 🔺x
– 正弦波與勻速運動，光滑曲線擬合數
第七章 隱秘的源泉
▪️牛頓，運用無窮多項方程的分析學 1669
– 微積分基本定理，以代數找到曲線的max, min, 切線
– 把面積視為流動/移動的量，而不是按幾何學的慣例。
– 💬 面積A(x) -> 曲線 y(x) -> 斜率 dy/ dx
- x^2 + y^2 = 1 => y=(1-x^2)^(-1/2)
- 將曲線轉為冪級數，求面積
- 1/（1+x) = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 …, if x=-1/4 得到阿基米德級數
- ln (1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 +…
第八章 思維的虛構產物
– 無窮小變化量 dx
– dA = y dx = f(x) dx => dA/dx =y = f(x) here A(x) = s f(x) dx in [0, x]
▪️萊布尼茨，微分和基本定理
– S = 1/1 = 1 / N+1
– S y(x) dx in [a, b] = A(b) – A(a)
– 求無窮多個無窮小的矩形條面積和，整合為單一的連貫區域
第九章 宇宙的邏輯
在應用數學領域，微積分的進化是一個關乎對變化的理解不斷擴展的故事。微積分始於曲線（方向的變化）的研究，繼而對運動（位置的變化）的研究。
在微分方程興起後，微積分廣泛應用於對變化的研究，如今，微分方程可以幫助我們預測流行病傳播、颶風在哪登陸、購買股票期權需付多少錢…
今日，大學生在學習物理學時，會先接觸經典力學（牛頓力學），然後了解到這已被愛因斯坦的相對論及普朗克、波耳、薛丁格、海森堡、狄拉克的量子理論取代。
新理論推翻了關於空間與時間、質量與能量，以及決定論本身的牛頓式概念，就量子理論而言，對自然的描述更具機率論和統計學的特徵。
- 量子物理：流動/氣體動力、廣義相對論、薛丁格方程…
- 牛頓式：將運動與引力定理設為公理，以微積分設為演繹工具，微積分基本定理、冪級數
– 如何彎曲，受阻力最小？
– 將多個粒子視為「連續介質」，常微分方程，在下個無窮小的時間增量中，粒子位置的改變量
– (1) x(y), y(t), z(t)
– (2) given (x, y, z), t, let T(x, y, z, t)
第十章 波、微波爐和腦成像
- 弦波之和，正弦波、無窮粒子的連續排列、傅立葉分析
- 熱爾曼，費馬大定理的證明
- 在微積分、傅立葉分析、信號處理和計算機的幫助下，CT軟體可推斷x-ray 穿過組織和器官的性質，並生成各部位影像
第十一章 微積分的未來
C19 消除微積分的無窮大和無窮小，闡明極限、導數、積分和實數的真正含義。
微積分是「在解決關於任意連續體中難題時，先把他切分為無窮多個部分，然後一一求解、最後通過各部分的答案組合起來去解決原始難題」，稱為「無窮原則」。囊括：牛頓與萊布尼茨的微積分、多變量微積分、常微分方程、偏微分方程、傅立葉分析、複分析，以及其他涉及極限、導數和積分的其他分支。
（1）微積分在社會科學、音樂、藝術和人文領域的新應用；
（2）微積分在醫學和生物學領域的持續應用
（3）應對金融、經濟和天氣固有的隨機性
（4）⭐️ 微積分為大數據服務，反之亦然
（5）非線性、混沌和複雜系統的持續挑戰
（6）⭐️微積分與計算機（包括人工智能）間不斷演化的合作關係
（7）將微積分推廣至量子領域
包括：混沌、複雜性理論，以及計算機和人工智能的崛起帶來的洞察力及預測方面的挑戰。
有些定理儘管已被電腦證實，卻沒能理解相關證明過程。定理為什麼是真的？或許在不久的將來，人工智能能提供其證明。
jjrsbrain 